Question

Укажите наименьшее и наибольшее значение выражения:

а) 3cos(квадрат)a -sin(квадрат)a

б) 4sin(4 степень)a - 4cos(4 степень)a

 

Если можно без sqrt - мы это не проходили)

Answer 1

$3cos^{2}a-sin^{2}a = 3cos^{2}a-1+cos^{2}a = 4cos^{2}a-1$

Как известно, для любого a -1<cosa<1, 0<cosa^2<1 , следовательно максимальное значение выражение достигает при cosa^2 = 1, а минимальное, при cosa^2 = 0

$4cos^{2}a-1 = 4-1 = 3$ 

$4cos^{2}a-1 = 0-1 = -1$  

 

 $4sin^{4}a-4cos^{4}a = 4(sin^{2}a-cos^{2}a)(sin^{2}a+cos^{2}a)=4(sin^{2}a-cos^{2}a) = 4sin^{2}a-4+4sin^{2}a = 8 sin^{2}a-4$

  Как известно, для любого a -1<sina<1, 0<sina^2<1 , следовательно максимальное значение выражение достигает при sina^2 = 1, а минимальное, при sina^2 = 0

$8sin^{2}a-4 = 8-4 = 4$

$8sin^{2}a-4 = 0-4 = -4$