Question

Колесо, вращаясь равноускоренно, увеличивает частоту вращения от 3 до 4 об/с, совершая при этом 10 полных оборотов. Найти и
записать законы изменения угловой скорости и углового пути в зависимости от времени.

Answer 1

Дано:

n1 = 3 об/с

n2 = 4 об/с

N = 10

π = 3,14

ω(t), φ(t) - ?

Решение:

ω(t) = ω0 + ε*t

T = 2π/ω; Τ = 1/ν; ν = n => T = 1/n => 1/n = 2π/ω

n = ω/(2π) => ω = 2πn

ω0 = 2πn1 = 2*3,14*3 = 18,84 рад/с

ω = 2πn2 = 2*3,14*4 = 25,12 рад/с, тогда:

ω = ω0 + εt

εt = ω - ω0

t = (ω - ω0)/ε

φ(t) = ω0*t + ε*t²/2

φ = ω0*(ω - ω0)/ε + ε*((ω - ω0)/ε)²/2 = ω0*(ω - ω0)/ε + (ω - ω0)²/(2ε) = (2ω0*(ω - ω0) + (ω - ω0)²)/(2ε) = (2ω0*ω - 2ω0² + ω² - 2ω0*ω + ω0²)/(2ε) = (ω² - ω0²)/(2ε)

(ω² - ω0²)/φ = 2ε => ε = (ω² - ω0²)/(2φ)

Так как колесо совершило 10 полных оборотов, то угол поворота равен 2πN, тогда:

ε = (ω² - ω0²)/(2*2πN) = ((2πn2)² - (2πn1)²)/(4πN) = (4π²n2² - 4π²n1²)/(4πN) = 4π²(n2² - n1²)/(4πN) = π(n2² - n1²)/N = 3,14*(4² - 3²)/10 = 3,14*7/10 = 2,198 рад/с²

Тогда зависимость угловой скорости от времени:

ω(t) = 2πn1 + πt(n2² - n1²)/N = 2πn1 + πn2²*t/N - πn1²*t/N = π*(2n1 + n2²*t/N - n1²*t/N = π*(2*3 + 16*t/10 - 9*t/10) = π*(6 + 1,6t - 0,9t) = π*(6 + 0,7t)

ω(t) = π*(6 + 0,7t)

Зависимость углового пути от времени:

φ(t) = ω0*t + ε*t²/2 = 2πn1*t + (π(n2² - n1²)/N)*t²/2 = 2πn1*t + (πn2² - πn1²)*t²/(2N) = 2*π*3*t + (π*16 - π*9)*t²/(2*10) = 6πt + 7π*t²/20 = πt*(6 + 7t/20) = πt(6 + 0,35t)

φ(t) = πt(6 + 0,35t)

Проверим:

φ = 2πN = (ω² - ω0²)/(2ε) = (25,12² - 18,84²)/(2*2,198)

2*3,14*10 = (25,12² - 18,84²)/(2*2,198)

62,8 = 62,8 - сходится