Question

Найти общее и частное решение ДУ

Answer 1

ДУ перепишем в виде

$xy'\ln \dfrac{y}{x}+y=y\ln \dfrac{y}{x}$

Замена $x z(x)=y\Rightarrow z+xz'=y'$:

$x(z+xz')\ln z+xz=xz\ln z\\ z\ln z+xz'\ln z+z=z\ln z\\ xz'\ln z+z=0\\ \dfrac{\ln z dz}{z}=-\dfrac{dx}{x}$

$(*)\int \dfrac{\ln z dz}{z} =\int \ln z \;d(\ln z)=\dfrac{\ln ^2 z}{2}+C (*)$

$\dfrac{\ln ^2 z}{2}+C=-\ln x$

Возвратимся к исходной переменной:

$\dfrac{\ln ^2 \frac{y}{x}}{2}+C=-\ln x$  - общий интеграл ДУ

Определяем константу из начального условия:

$\dfrac{\ln ^2 \frac{e}{1}}{2}+C=-\ln 1\\ \dfrac{1}{2}+C=0\\ C=-\dfrac{1}{2}$

Окончательно

$\ln ^2 \frac{y}{x}+2\ln x=1$ - частный интеграл ДУ