Question

Помогите, пожалуйста
Вычислить интеграл

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \int \frac{2x^3+4x^2+2x-1}{(x+1)^2(x^2+2x+2)}\, dx=I\\\\\\\frac{2x^3+4x^2+2x-1}{(x+1)^2(x^2+2x+2)}=\frac{A}{(x+1)^2}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2x+2}\\\\\\2x^3+4x^2+2x-1=A(x^2+2x+2)+B(x+1)(x^2+2x+2)+(Cx+D)(x+1)^2\\\\x=-1\ ,\ A=-1\\\\x^3\ |\ B+C=2\\x^2\ |A+3B+2C+D=4\\x^1\ |\ 2A+2B+C+2D=2\\x^0\ |\ 2A+4B+D=-1\\\\D=1\ ,\ C=-2\ ,\ B=4$

$\displaystyle I=\int \frac{-dx}{(x+1)^2}+\int \frac{4\, dx}{x+1}+\int \frac{-2x+1}{x^2+2x+2}\, dx\ ;\\\\\\\int \frac{-2x+1}{x^2+2x+2}\, dx=\int \frac{-2x+1}{(x+1)^2+1}\, dx=\int \frac{-2(x+1)+3}{(x+1)^2+1}\, dx=\Big[t=x+1\Big]=\\\\\\=\int \frac{(-2t+3)\, dt}{t^2+1}=-\int \frac{2t\, dt}{t^2+1}+3\int \frac{dt}{t^2+1}=-ln|t^2+1|+3arctgt+C_1=\\\\\\=-ln(x^2+2x+2)+3\, arctg(x+1)+C_1\ ;$

$I=\dfrac{1}{x+1}+4\, ln|x+1|-ln(x^2+2x+2)+3\, arctg(x+1)+C$