Question

Помогите решить и исследовать функцию, все точки экстримума, где возрастает и убывает, одним словом исследовать функцию y = 3x + $\frac{1}{3x}$

Answer 1

Объяснение:

$\displaystyle y=3x+\frac{1}{3x} =\frac{9x^2+1}{3x}$

1) ОДЗ: х≠0

Или х∈(-∞; 0)∪(0; +∞)

2) Четность, нечетность.

$\displaystyle y(-x)=\frac{9*(-x)^2+1}{3*(-x)} =\frac{9x^2+1}{-3x} =-\frac{9x^2+1}{3x}$

y(-x)=-y(x) ⇒ функция нечетная.

3) Пересечение с осями:

х≠0 ⇒ ось 0у не пересекает.

9х²+1≠0 ⇒ у≠0 ⇒ ось 0х не пересекает.

4) Асимптоты.

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{9x^2+1}{3x}= \infty$   ⇒ x=0 - вертикальная асимптота.

Наклонная: у=kx+b

$\displaystyle k= \lim_{x \to \infty} \frac{9x^2+1}{3x^2}= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9x^2}{3x^2}+\frac{1}{3x^2} }{\frac{3x^2}{3x^2} } =3\\\\b= \lim_{x \to \infty} (\frac{9x^2+1}{3x}-3x)= \lim_{x \to \infty} \frac{9x^2+1-9x^2}{3x}=0$

⇒ y=3x - наклонная асимптота.

5) Возрастание, убывание.

$x^{2} \displaystyle y'=\frac{1}{3}* \frac{18x*x-(9x^2+1)*1}{x^2}=\frac{1}{3}* \frac{18x^2-9x^2-1}{x^2}= \frac{9x^2-1}{3x^2} \\\\y'=0;\;\;\;\;\;(3x+1)(3x-1)=0;\;\;\\\\x=\frac{1}{3} ;\;\;\;\;\;x=-\frac{1}{3} ;\;\;\;\;\;x\neq 0$

См. рис.

$\displaystyle x_{max}=-\frac{1}{3} ;\;\;\;\;\;x_{min}=\frac{1}{3} \\\\y(-\frac{1}{3} )=-2;\;\;\;\;\;y(\frac{1}{3})=2$

Возрастает при х∈(-∞; -1/3)∪(1/3; +∞)

Убывает при х∈(-1/3; 0)∪(0; 1/3)

6) Выпуклость, вогнутость.

$\displaystyle y''=\frac{1}{3}*\frac{18x*x^2-(9x^2-1)*2x}{x^4} =\frac{1}{3}*\frac{18x^3-18x^3+2x}{x^4} =\frac{2}{3x^3} \\\\y''\neq 0$

См. рис.

Выпукла при х∈(-∞; 0), вогнута при х∈(0; +∞)