Question

Основанием треугольной пирамиды является правильный треугольник и все её боковые рёбра равны 15 см, а её высота 12 см. Найдите сторону основания ​

Answer 1

Ответ:

$9\sqrt{3}$ см

Объяснение:

Дано: ABCK - пирамида, AC = AB = BC, KA = KB = KC = 15 см, KO ⊥ ABC,

KO = 12 см

Найти: AC, AB, BC - ?

Решение: Так как по условию основание пирамиды правильный треугольник и KA = KB = KC, то по теореме ABCK - правильная пирамида, тогда точка O центр вписанной окружности треугольника ΔABC.

Проведем отрезок AO. Так как KO ⊥ ABC и AO ⊂ ABC, то KO ⊥ AO. Рассмотрим треугольник AOK. По теореме Пифагора: $AO = \sqrt{AK^{2} - KO^{2} } = \sqrt{15^{2} - 12^{2} } = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ см. По свойствам правильного треугольника (ΔABC) центр вписанной и описанной окружности треугольника совпадают, тогда AO - радиус описанной окружности. По свойствам правильного треугольника все его углы равны 60°. По следствию из теоремы синусов:

$AO = \dfrac{AC}{2 \sin \angle ABC} \Longrightarrow AC = AO \cdot 2 \sin \angle ABC = 9 \cdot 2 \cdot \sin 60^{\circ} = \dfrac{9 \cdot 2 \cdot\sqrt{3} }{2} =$

$= 9\sqrt{3}$ см. $AC = BC = AB = 9\sqrt{3}$ см.