Question

Решите подробно с объяснением ; и с чертежом

Answer 1

Обозначим вершины треугольника:

$A(3;\ 5);\ B(6;\ 6);\ C(x;\ y)$

Найдем длину стороны $AB$:

$AB=\sqrt{(6-3)^2+(6-5)^2} =\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный и прямоугольный, то нужно рассмотреть два случая: $AB$ - гипотенуза треугольника и $AB$ - один из двух равных катетов.

Проанализируем, реализуемы ли такие ситуации. Зная, что площадь треугольника равна $\dfrac{5}{2}$, найдем длину катетов $a$ и гипотенузы $b$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S=\dfrac{a\cdot a}{2} =\dfrac{5}{2}$

$a^2=5$

$a=\sqrt{5}$

$b=a\sqrt{2} =\sqrt{5} \cdot\sqrt{2} =\sqrt{10}$

Видно, что длина стороны $AB$ соответствует длине гипотенузы треугольника.

Изобразив графически точки А и В, схематично построим два возможных треугольника.

Запишем длины катетов $AC$ и $BC$:

$AC=\sqrt{(x-3)^2+(y-5)^2}=\sqrt{5}$

$BC=\sqrt{(x-6)^2+(y-6)^2} =\sqrt{5}$

Возводим обе части каждого уравнения в квадрат и объединяем их в систему:

$\begin{cases} (x-3)^2+(y-5)^2=5\\ (x-6)^2+(y-6)^2=5\end{cases}$

$\begin{cases} x^2-6x+9+y^2-10y+25=5\\ x^2-12x+36+y^2-12y+36=5\end{cases}$

От первого уравнения отнимаем второе:

$6x-27+2y-11=0$

$2y=38-6x$

$y=19-3x$

Подставляем полученное соотношение в первое уравнение системы:

$(x-3)^2+(19-3x-5)^2=5$

$(x-3)^2+(14-3x)^2=5$

$x^2-6x+9+196-84x+9x^2=5$

$10x^2-90x+200=0$

$x^2-9x+20=0$

$D=9^2-4\cdot1\cdot20=1$

$x_1=\dfrac{9+\sqrt{1} }{2} =5\Rightarrow y_1=19-3\cdot5=4$

$x_2=\dfrac{9-\sqrt{1} }{2} =4\Rightarrow y_2=19-3\cdot4=7$

Находим требуемую сумму:

$x_1+y_1+x_2+y_2=5+4+4+7=20$

Ответ: 20