Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Answer 1

Ответ:

$r_1=4sin\varphi \ ,\ \ r_2=2sin\varphi \\\\\\\displaystyle S=\dfrac{1}{2}\int\limits^{\pi }_0\, r_1^2(\varphi )\, d\varphi -\frac{1}{2}\int\limits^{\pi }_0r^2_2(\varphi )\, d\varphi =\frac{1}{2}\int\limits^{\pi }_0(r_1^2(\varphi )-r_2^2(\varphi ))\, d\varphi =\\\\\\=\dfrac{1}{2}\int\limits^{\pi }_0(16sin^2\varphi -4sin^2\varphi )\, d\varphi =\frac{1}{2}\int\limits^{\pi }_0\, 12sin^2\varphi \, d\varphi =\frac{12}{2}\int\limits^{\pi }_0 \frac{1-cos2\varphi }{2}\, d\varphi =$

$\displaystyle =3\int\limits^{\pi }_0(1-cos2\varphi )\, d\varphi =3\,(\ \varphi -\dfrac{1}{2}\cdot cos2\varphi \, )\Big|_0^{\pi }=3\, \Big(\pi -0-0+\frac{1}{2}\Big)=\frac{3\, (2\pi +1)}{2}$