Question

помогите, пожалуйста! Найти область сходимости степенного ряда.

Answer 1

Ответ:

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{(x-6)^{n}}{(n+2)\cdot 3^{n}}\\\\\\\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|}=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{|x-6|^{n+1}}{(n+3)\cdot 3^{n+1}}:\dfrac{|x-6|^{n}}{(n+2)\cdot 3^{n}}=\\\\\\=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{|x-6|^{n}\cdot |x-6|\cdot (n+2)\cdot 3^{n}}{(n+3)\cdot 3^{n}\cdot 3\cdot |x-6|^{n}}=\dfrac{|x-6|}{3}<1\\\\\\|x-6|<3\ \ \ \Rightarrow \ \ \ -3<x-6<3\ \ ,\ \ \underline {\ 3<x<9\ }\\\\x=3:\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{n}}{(n+2)}$

ряд условно сходится  (по признаку Лейбница) .

$x=9:\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n+2}\ \ -\ \ \ rasxoditsya\\\\\\Oblast\ sxodimosti:\ \ 3\leq x<9\ .$