Question

Найдите все значения p, при которых уравнение p*ctg^2x+2sinx+p=3 имеет хотя бы один корень

Answer 1

4sinx+9=p(1+ctg

2

x)

4sinx+9=p(1+

sin

2

x

cos

2

x

)

4sinx+9=

sin

2

x

p

4sin

3

x+9sin

2

x=p

sinx



=0

−1≤sinx≤1

sinx=t

f(x)=4sin

3

x+9sin

2

x

f

′

(x)=12cosxsin

2

x+9sin2x

f−−−>max=>13

f−−−>min=>0

Answer 2

Дано уравнение p*ctg^2(x)+2sin(x)+p=3.

Выразим его через "р".

p*ctg^2(x)+p = 3 - 2sin(x),

p(ctg^2(x) + 1) = 3 - 2sin(x),

p = (3 - 2sin(x)) / (ctg^2(x) + 1). Заменим ctg^2(x) = cos^2(x) / sin^2(x).

p = (3 - 2sin(x)) / ((cos^2(x) / sin^2(x)) + 1).

Приведём к общему знаменателю:

p = (3 - 2sin(x))*sin^2(x)) / (cos^2(x) + sin^2(x)). В знаменателе 1.

Отсюда p = (3 - 2sin(x))*sin^2(x)).

Проанализируем полученное выражение.

Так как синус может принимать значения от минус 1 до плюс 1 (в том числе и 0), то если один из множителей (а это sin^2(x)) равен нулю, то и р равно 0. Но это предельное значение не входит в область определения функции (получаем 2sin(x) = 3, что невозможно).

При переменной х, равной "пи", синус равен минус 1. Второй множитель положителен и равен 1, а первый принимает значение 3 - (-1) = 5.

Параметр р не принимает отрицательных значений.

Ответ: 0 < p ≤ 5.