Question

1. Найдите производную данной функции 

а)f(x)=-2x^4+(1/3x^6)-1

б)f(x)=(2/x^4)+x

в)f(x)=3sinx

 

скобки не нужны это я поставил чтобы вам было ясней что входит в состав дроби

 

2. Найдите производную функции f и вычислите её значение в указанной точке

а)f(x)=cos(3x-п/4)  x=п/4

б)f(x)=(x^2-2)/(x) x=-1

 

3. Найдите точки, в которых производная данной функции равна нулю

а)f(x)=корень из 2*cosx+x

б)f(x)=x^4-2x^2

Answer 1

1. Найти производную данной функции:
a) $f'(x)=(-2x^4+ frac{1}{3} x^6-1)'=-8x^3+2x^5$
б) $f'(x)=bigg( dfrac{2}{x^4} bigg+xbigg)^big{'}=- dfrac{8}{x^5} +1$
в) $f'(x)=(3sin x)'=3cos x$

2. Найти производную в заданной точке
а) $f'(x)=(cos(3x- frac{pi}{4} ))'=-sin (3x- frac{pi}{4})cdot (3x- frac{pi}{4})'=-3sin(3x- frac{pi}{4})$
Вычислим значение производной в точке х=п/4
$f'( frac{pi}{4} )=-3sin(3cdot frac{pi}{4} - frac{pi}{4})=-3$

б) $f'(x)=( frac{x^2-2}{x})'=(x- frac{2}{x} )'=1+ frac{2}{x^2}$
Вычислим значение производной в точке x=-1
$f'(-1)=1+ frac{2}{(-1)^2} =3$

3. Найти точки, в которых производная равна нулю
a) $f'(x)= -sqrt{2} sin x+1$
$f'(x)=0;,,,,,,,,,,,,, sin x= frac{1}{sqrt{2} } \ x=(-1)^kcdot frac{pi}{4}+pi k,k in mathbb{Z}$

б) $f'(x)=(x^4-2x^2)'=4x^3-4x$
$f'(x)=0\ 4x^3-4x=0\ 4x(x^2-1)=0\ x_1=0\ x_2_,_3=pm 1$

Answer 2

1)
а) $f(x)=-2x^4+ frac{1}{3} x^6-1$
$f'(x)=(-2x^4+ frac{1}{3} x^6-1)'=-2*4x^3+6* frac{1}{3} x^5=-8x^3+2x^5$
б) $f(x)= frac{2}{x^4} +x=2x^{-4}+x$
$f'(x)=(2x^{-4}+x)'=-4*2x^{-5}+1=-8x^{-5}+1= -frac{8}{x^5}+1$
в) $f(x)=3sinx$
$f'(x)=(3sinx)'=3cosx$
2)
а) $f(x)=cos(3x- frac{ pi }{4} )$
$f'(x)=(cos(3x- frac{ pi }{4} ))'=-sin(3x- frac{ pi }{4} )*(3x- frac{ pi }{4} )'=-3sin(3x- frac{ pi }{4} )$
$x= frac{ pi }{4}$
$f( frac{ pi }{4} )=-3sin( frac{ 3pi }{4} - frac{ pi }{4} )=-3sin frac{ pi }{2}=-3*1=-3$
б) $f(x)= frac{ x^{2} -2}{x}$
$f'(x)=( frac{ x^{2} -2}{x} )'= frac{(x^2-2)'*x-x'(x^2-2)}{x^2} = frac{2x^2-x^2+2}{x^2} = frac{x^2+2}{x^2}$
$x=-1$
$f(-1)= frac{(-1)^2+2}{(-1)^2} =3$
3)
а) $f(x)= sqrt{2} cosx+x$
$f'(x)=( sqrt{2} cosx+x)'=- sqrt{2} sinx+1$
$f'(x)=0$
$- sqrt{2} sinx+1=0$
$- sqrt{2} sinx=-1$
$sqrt{2} sinx=1$
$sinx= frac{1}{ sqrt{2} }$
$x=(-1)^narcsin frac{1}{ sqrt{2} }+ pi n,$ $n$ ∈ $Z$
$x=(-1)^n frac{ pi }{4 }+ pi n,$ $n$ ∈ $Z$
б) $f(x)=x^4-2x^2$
$f'(x)=(x^4-2x^2)'=4x^3-4x$
$f'(x)=0$
$4x^3-4x=0$
$4x(x^2-1)=0$
$4x(x-1)(x+1)=0$
$x=0$   или   $x=1$   или   $x=-1$