Question

Пожалуйста помогите с примером:​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$\Big( \: \frac{ \cos3 \alpha }{ \cos2 \alpha} + \frac{ \sin3 \alpha }{ \sin2 \alpha} \: \Big) \cdot{ \frac{1}{ \sin \alpha{ + }\sin9 \alpha } \: } = \\ \\ \small = \Big( \: \frac{ \cos3 \alpha {\cdot} \sin2 \alpha}{ \cos2 \alpha{\cdot} \sin2 \alpha} + \frac{ \sin3 \alpha{\cdot} \cos2 \alpha }{ \sin2 \alpha{\cdot} \cos2 \alpha} \: \Big) {\cdot}{ \frac{1}{ 2\sin ( \frac{\alpha{ + }9 \alpha}{2} ){\cdot} \cos{( \frac{\alpha {-} 9 \alpha }{2})}\: }} = \\ \\ \small = \Big( \: \frac{ \cos3 \alpha {\cdot} \sin2 \alpha + \sin3 \alpha{\cdot} \cos2 \alpha }{ \sin2 \alpha{\cdot} \cos2 \alpha} \: \Big) {\cdot}{ \frac{1}{ 2\sin 5\alpha {\cdot} \cos{( {-} 4 \alpha )}\: }} = \\ \\ \small = \Big( \: \frac{ \sin(2 \alpha {+ }3 \alpha) }{ \tfrac{1}{2} (2 \sin2 \alpha{\cdot} \cos2 \alpha)}\: \Big) {\cdot}{ \frac{1}{ 2\sin 5\alpha {\cdot} \cos{ 4 \alpha }\: }} = \\ \\ \small = \Big( \: \frac{2 \sin5 \alpha }{ \sin(2{ \cdot}2 \alpha)}\: \Big) {\cdot}{ \frac{1}{ 2\sin 5\alpha {\cdot} \cos{4 \alpha}\: }} = \\ \\ \small = \frac{2 \sin5 \alpha }{ \sin4 \alpha } \cdot \frac{1}{2 \sin5 \alpha \cdot \cos4 \alpha } = \\ \\ \small = \frac{ \cancel{ \: 2 \sin5 \alpha \: }}{ \sin4 \alpha } {\cdot} \frac{1}{ \cancel{ \: 2 \sin5 \alpha \: }\cdot \cos4 \alpha } = \frac{1}{ \cos^{2} 4 \alpha }$

Конечную форму можно отредактировать следующим образом:

$\frac{1}{ \cos^{2}4 \alpha } = \frac{1}{1 - \sin^{2}4 \alpha } = \\ = \frac{2}{2 - 2 \sin^{2}4 \alpha } = \frac{2}{1 + (1 - 2\sin^{2}4 \alpha) } = \\ = \frac{1}{1 + \cos2{ \cdot}4 \alpha } = \frac{1}{1 + \cos8\alpha }$

При значении $\alpha = \frac{ \pi}{48}$ выражение будет равно:

$\frac{2}{1 + \cos \frac{8 \pi}{48} } = \frac{2}{1 + \cos \frac{ \pi}{6} } = \frac{2}{1 + \frac{ \sqrt{3} }{2} } = \\ = \frac{4}{2+ \sqrt{3} } = \frac{4(2 - \sqrt{3} )}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3} ) } = \\ = \frac{8 - 4 \sqrt{3} }{ 2^{2} - ( \sqrt{3} )^{2} } = \frac{8 - 4 \sqrt{3} }{4 - 3} = 8 - 4 \sqrt{3}$