Question

Шар массой 1кг, катится горизонтально со скоростью U_1, он столкнулся с неподвижным шаром большей массы и потерял при этом 80% своей кинетической энергии. Какова масса второго шара? Удар прямой, абсолютно упругий, центральный.

Answer 1

пусть шар катится в положительном направлении оси Ох, и его скорость полностью спроецируется на эту ось.

тогда запишем ЗСИ и ЗСЭ для данной ситуации:

$(1)~~~~~~~m\vec v_1=m\vec v_2 + M\vec u\\~~~~~~\underline{Ox}~~mv_1=-mv_2+Mu$,

так как по условию m<M, то после столкновения первый шар скорее всего поедет в обратном направлении. М - неизвестная масса второго шара, v₂ и u - скорости, которые приобретут первый и второй шар соответственно после столкновения.

ЗСЭ:

$(2)~~~~\frac{mv_1^2}{2} =\frac{mv_2^2}{2} +\frac{Mu^2}{2} ~|\times 2\\~~~~~~~~~mv^2_2=mv_2^2+Mu^2$

Но т.к. 80% кинетической энергии первого шара потерялось, то есть перешло второму шару, то запишем третье уравнение:

$(3)~~~~~\frac{1}{5} \frac{mv_1^2}{2} =\frac{mv_2^2}{2} \\~~~~~~~~~~\frac{1}{5} v_1^2=v^2_2\\~~~~~~~~~~v_2=v_1\sqrt{\frac{1}{5} }$

Из (2) и (3):

$\frac{4}{5} mv_1^2=Mu^2\\u^2=\frac{4}{5} \frac{m}{M} v_1^2\\u=v_1\sqrt{\frac{4}{5} \frac{m}{M} }$

Подстановка в (1):

$mv_1=Mv_1\sqrt{\frac{4}{5}\frac{m}{M} } -mv_1\sqrt{\frac{1}{5}} \\m=\sqrt{\frac{4}{5} Mm} -m\sqrt{\frac{1}{5} } \\m(1+\sqrt{\frac{1}{5} } )=\sqrt{\frac{4}{5} Mm} \\\sqrt{\frac{5}{4} } \times m(1+\sqrt{\frac{1}{5} } )=\sqrt{ Mm} \\\sqrt{\frac{5}{4}m } \times(1+\sqrt{\frac{1}{5} } )=\sqrt{ M} \\\\\frac{5}{4}m (1+\sqrt{\frac{1}{5} } )^2=M$