Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle y=lnx\ \ ,\ \ y=x-1\ \ ,\ \ y=-1\\\\lnx=-1\ \ \ \to \ \ x=e^{-1}=\dfrac{1}{e}\\\\S=\int\limits^1_0\, (x-1)\, dx-\int\limits^1_{1/e}\, lnx\, dx=\dfrac{(x-1)^2}{2}\Big|_0^1-(x\, lnx-x)\Big|_{1/e}^1=\\\\\\=0-\dfrac{1}{2}-\Big(0-1-\dfrac{1}{e}\cdot (-1)+\dfrac{1}{e}\Big)=-\dfrac{1}{2}+1-\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{e}=\boxed{\ \dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{e}\ }$

$\star \ \ \int \, lnx\, dx=\Big[u=lnx\ ,\ du=\dfrac{dx}{x}\ ,\ dv=dx\ ,\ v=x\ \Big]=uv-\int v\, du=\\\\=x\, lnx-\int dx=x\, lnx-x+C=x(lnx-1)+C\ \ \star$