Question

Актуально до 07.10.2021 до 08.00 по МСК
$\int\limits^a_b {\sqrt{2+cox3x*sin3x} } \, dx$
Интеграл неопределенный ( не знаю как убрать а и в).
Посчитайте интеграл подробно.

Answer 1

Объяснение:

$\int\limits^a_b {\sqrt{2+cos(3x)*sin(3x)} } \, dx =\int\limits^a_b {\sqrt{2+\frac{2*sin(3x)*cos(3x)}{2} } } \, dx =\int\limits^a_b {\sqrt{2+\frac{sin(6x)}{2} } } \, dx.$

Преобразуем подкоренное выражение интеграла:

$2+\frac{sin(6x)}{2}=\frac{4+sin(6x)}{2}=\frac{5-1+sin(6x)}{2}=\frac{5}{2} +\frac{-1+sin(6x)}{2} =\frac{5}{2} +\frac{-1+cos(\frac{\pi }{2}- 6x)}{2} =$

$\frac{1-cos\alpha }{2}=sin^2\frac{\alpha }{2}\ |*(-1)\\\frac{-1+cos\alpha }{2}=-sin^2\frac{\alpha }{2}.\ \ \ \ \Rightarrow$

$=\frac{5}{2}+(-sin^2(\frac{\frac{\pi }{2}-6x }{2}))=\frac{5}{2}-sin^2(\frac{\pi }{4}-3x)=\frac{5}{2}-sin^2(3x-\frac{\pi }{4} )=\frac{5}{2}*(1-\frac{2*sin(3x-\frac{\pi }{4}}{5} ) .$

$3x-\frac{\pi }{4} =u\ \ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ \frac{du}{dx}=3\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ \ dx=\frac{du}{3} .\\\frac{\sqrt{5} }{3*\sqrt{2} } \int\limits^a_b {\sqrt{1- \frac{2*sin^2u}{5} } } \,du.$

$\int\limits^a_b {\sqrt{1-\frac{2*sin^2u}{5} } } \, du,$ для этого интеграла существует специальная функция (нормальный эллиптический интеграл 2-го рода (неполный)):

$=E(u|\frac{2}{5} )\ |^a_b.$

Производим обратную замену:

$=\frac{\sqrt{5}*E(3x-\frac{\pi }{4}|\frac{2}{5}) }{3*\sqrt{2} }\ |^a_b=\frac{\sqrt{5}*E(3a-\frac{\pi }{4}|\frac{2}{5}) }{3*\sqrt{2} }-\frac{\sqrt{5}*E(3b-\frac{\pi }{4}|\frac{2}{5}) }{3*\sqrt{2} }+C.$