Question

МАТАНАЛИЗ!!!!!!!ОЧЕНЬ срочно помогите,пожалуйста,даю 50 баллов!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Вычислить криволинейный интеграл по замкнутому контуру L
а) непосредственно
б) по формуле Грина

Answer 1

Если нарисовать контур интегрирования, то становится понятно, что исходный интеграл нужно разбить на 4 части под стать получившейся трапеции. Тогда получится следующее:

$\oint { ... }= \int\limits^3_0 {x^2} \, dx + \int\limits^4_0 {6y+y^2} \, dy +\int\limits^1_3 {2x(x+1)+x^2+2x(x+1)+(x+1)^2} \, dx +\int\limits^0_1 {y^2} \, dy = 0$

Все интегралы здесь самые обычные, поэтому подробно я не расписываю.

Аналогичный результат получается и с использование формулы Грина:

$\frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial P}{\partial x} = 2x+ 2y$

Поэтому $\frac{\partial Q}{\partial y} - \frac{\partial P}{\partial x} = 0$ и, соответственно, искомый интеграл тоже равен 0.