Question

Найти область сходимости ряда: $\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}\cdot (x+3)^n }{5^n\cdot n^2} .$

Answer 1

Ответ:

$x\in [-8;2]$

Объяснение:

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n(x)|}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{|x+3|^n}{5^n\cdot n^2}}=\dfrac{|x+3|}{5}$

Значит, ряд сходится в области, удовлетворяющей неравенству

$\dfrac{|x+3|}{5}<1\Leftrightarrow |x+3|<5\Leftrightarrow -8<x<2$

Исследуем сходимость на концах интервала.

1) $x=-8\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n-1}\cdot (-5)^n}{5^n\cdot n^2}=-\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2}$ - сходится как обобщенный гармонический ряд с $\alpha=2>1$

2) $x=2\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n-1}\cdot 5^n}{5^n\cdot n^2}=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ - согласно пункту 1) ряд из модулей сходится, а значит данный ряд сходится абсолютно.