Question

Решите уравнение
$\displaystyle\boldsymbol {\\x^\frac{1}{x} =\sqrt{3} ^\frac{1}{\sqrt{3} } }$
(без ф.Ламберта)

Answer 1

ОДЗ: x>0.

Чтобы легче было брать производную, перейдем (логарифмируя левую и правую части уравнения) к равносильному уравнению

                                      $\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{\ln \sqrt{3}}{\sqrt{3}}.$

Исследуем функцию $y=\dfrac{\ln x}{x};\ \ \ y'=\dfrac{1-\ln x}{x^2};$   производная положительна слева от e и отрицательна справа от e. Поэтому достаточно угадать два решения - одно слева от e, другое справа от e.

Решение слева от e очевидно - это $x=\sqrt{3},$  решение справа от e менее очевидно, но по зрелому размышлению приходим к мысли, что это

$x=3\sqrt{3}=(\sqrt{3})^3.$ В самом деле,

$\left((\sqrt{3})^3\right)^{1/(3\sqrt{3})}=(\sqrt{3})^{3/(3\sqrt{3})}=(\sqrt{3})^{1/\sqrt{3}}.$

Ответ: $\sqrt{3};\ \ 3\sqrt{3}.$