Question

1.85. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.​

Answer 1

Ответ:

AC ∩ BD = O

Пусть ∠AOB=α, тогда ∠BOC=180°-α т.к. ∠AOB и ∠BOC смежные; так же ∠AOD=180° - α.

OP - биссектриса ∠BOC; OQ - биссектриса ∠AOD; ∠BOC и ∠AOD вертикальные.

∠BOP = ∠BOC÷2 = \tt \dfrac{180^{\circ } -\alpha }22180∘−α т.к. биссектриса делит угол пополам; так же ∠AOQ = ∠AOD÷2 = \tt \dfrac{180^{\circ } -\alpha }22180∘−α

∠QOP = ∠AOQ+∠AOB+∠BOP = \tt \dfrac{180^{\circ } -\alpha }2 +\alpha +\dfrac{180^{\circ } -\alpha }2 =\alpha +180^{\circ } -\alpha =180^{\circ }2180∘−α+α+2180∘−α=α+180∘−α=180∘

Значит ∠QOP развёрнутый ⇒ OQ,OP ⊂ QP. Доказано.