Помогите решить задачу
В прямом цилиндрическом сосуде длиной 40см, закрытом герметически, находится водород при температуре 27°C и давлении 10 МПа сосуд начинает двигаться равноускоренно с ускорением 5 м/с² направлении, перпендикулярном основанию цилиндра. Определите разность плотности молекул водорода у передней и задней стенок цилиндра после достаточно длительного движения с постоянным ускорением. Силой тяжести, действующей на молекулы водорода, пренебречь.
Ответы
Дано:
L = 40 см = 0,4 м
Т = 27 °С = 300 К = const
р = 10 МПа = 10⁷ Па
а = 5 м/с²
М = 2*10^-3 кг/моль
R = 8,31 Дж/(моль*К)
ρ1 - ρ2 = ?
Решение:
Газ рассматриваем как единое тело массой m, которое движется с ускорением а. Температуру по всему объёму цилиндра считаем постоянной (теплопотерями через стенки сосуда пренебрегаем). Направим ось икс вправо, движение цилиндра положим направленным по оси. В силу инертности молекул большая часть газа будет давить на левую стенку. Остальная часть будет давить на правую (давление на правую стенку обусловлено только тепловым движением частиц). На обе стенки газ действует с определёнными силами. По Третьему закону Ньютона стенки действуют на газ с теми же силами. Сила со стороны левой стенки будет больше, чем сила со стороны правой. Составим уравнение по Второму закону Ньютона:
F1 + (-F2) = ma
F1 - F2 = ma
Т.к. p = F/S, то F = p*S
S = const =>
p1*S - p2*S = ma
S*(p1 - p2) = ma
Представим давление из уравнения состояния газа (Менделеева-Клапейрона) через плотность:
pV = (m/M)*RT
Т.к. m = ρV, то:
pV = (ρV/M)*RT | : V
p = ρ*(RT/M) =>
S*(ρ1*(RT/M) - ρ2*(RT/M)) = ma
S*(RT/M)*(ρ1 - ρ2) = ma
Выразим массу из уравнения состояния:
pV = m*(RT/M) => m = pV/(RT/M) = pVM/(RT)
Т.к. V = S*L, то
m = pSLM/(RT), значит:
S*(RT/M)*(ρ1 - ρ2) = (pSLM/(RT))*a | : S
(RT/M)*(ρ1 - ρ2) = pLMa/(RT)
ρ1 - ρ2 = [pLMa/(RT)] / (RT/M) = pLM²a/(R²T²) = 10⁷*0,4*(2*10^-3)²*5/(8,31²*300²) = 0,000012871... = 0,000013 кг/м³ = 13 мг/м³
Ответ: примерно 13 мг/м³.