Question

Срочно! Решите уравнение методом замены переменной: 3(x+2)^2+2(x^2-2x+4)^2=5(x^3+8)
С решением, пожалуйста

Answer 1

$3(x+2)^2+2(x^2-2x+4)^2=5(x^3+8)$

Переносим все слагаемые в левую часть:

$3(x+2)^2-5(x^3+8)+2(x^2-2x+4)^2=0$

Воспользуемся формулой суммы кубов:

$3(x+2)^2-5(x+2)(x^2-2x+4)+2(x^2-2x+4)^2=0$

Заметим, что выражение $x^2-2x+4$ ни при каких $x$ не равно 0, так как уравнение $x^2-2x+4=0$ имеет отрицательный дискриминант: $D_1=(-1)^2-1\cdot4=-3$.

Тогда, разделим обе части уравнения на $(x^2-2x+4)^2$:

$\dfrac{3(x+2)^2}{(x^2-2x+4)^2} -\dfrac{5(x+2)(x^2-2x+4)}{(x^2-2x+4)^2} +\dfrac{2(x^2-2x+4)^2}{(x^2-2x+4)^2} =0$

$\dfrac{3(x+2)^2}{(x^2-2x+4)^2} -\dfrac{5(x+2)}{x^2-2x+4} +2=0$

$3\cdot\left(\dfrac{x+2}{x^2-2x+4}\right)^2 -5\cdot\dfrac{x+2}{x^2-2x+4} +2=0$

Замена:

$\dfrac{x+2}{x^2-2x+4} =y$

Получаем уравнение:

$3y^2 -5y+2=0$

Так как сумма коэффициентов уравнения равна 0, то первый корень равен 1, а второй - отношению свободного члена к старшему коэффициенту:

$y_1=1;\ y_2=\dfrac{2}{3}$

Обратная замена. Для значения $y_1=1$ получим:

$\dfrac{x+2}{x^2-2x+4} =1$

$x^2-2x+4=x+2$

$x^2-3x+2=0$

$D=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=1$

$x_1=\dfrac{3+\sqrt{1} }{2\cdot1} =\boxed{2}$

$x_2=\dfrac{3-\sqrt{1} }{2\cdot1} =\boxed{1}$

Для значения $y_2=\dfrac{2}{3}$ получим:

$\dfrac{x+2}{x^2-2x+4} =\dfrac{2}{3}$

$2(x^2-2x+4)=3(x+2)$

$2x^2-4x+8=3x+6$

$2x^2-7x+2=0$

$D=(-7)^2-4\cdot2\cdot2=33$

$x_{34}=\dfrac{7\pm\sqrt{33} }{2\cdot2} =\boxed{\dfrac{7\pm\sqrt{33} }{4} }$

Ответ: $1;\ 2;\ \dfrac{7\pm\sqrt{33} }{4}$