Question

исследуйте функцию на четность f(x) =2ctgx-6x​

Answer 1

$f(x) =2\mathrm{ctg}\,x-6x$

Найдем область определения функции. Так как котангенс определен для всех чисел, кроме чисел вида $x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$, то область определения функции:

$x\in(\pi n;\ \pi+\pi n) ,\ n\in\mathbb{Z}$

Заметим, что область определения функции является множеством, симметричным относительно 0. Значит, данная функция может быть четной, нечетной или ни четной, ни нечетной (функцией общего вида).

Справедливо соотношение:

$\mathrm{ctg}\,(-x)=\dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)} =\dfrac{-\sin x}{\cos x} =-\mathrm{ctg}\,x$

Рассмотрим выражение $f(-x)$:

$f(-x) =2\mathrm{ctg}\,(-x)-6\cdot(-x)=-2\mathrm{ctg}\,x+6x=-(2\mathrm{ctg}\,x-6x)=-f(x)$

Так как выполняется условие $f(-x) =-f(x)$, то функция является нечетной.