Question

Помогите, пожалуйста!
Вычислить определенный интеграл с точностью α = 0,001, представив подынтегральную функцию в виде степенного ряда

Answer 1

Ответ:

$0.495$

Объяснение:

Преобразуем интеграл: $\int\limit_0^{2.5}\dfrac{dx}{\sqrt[3]{125+x^3}}=\left[t=\dfrac{x}{5}\right]=\int\limit_0^{0.5}\dfrac{dt}{\sqrt[3]{1+t^3}}=(*)$

Известное разложение: $(1+t)^\alpha=1+\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\prod\limits_{k=1}^n \dfrac{\alpha-k+1}{k} \right)\cdot x^n \;\;\;\;\forall \alpha, x:|x|<1$

В частности, имеем $\dfrac{1}{\sqrt[3]{1+t}}=1+\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\prod\limits_{k=1}^n \dfrac{-\frac{1}{3}-k+1}{k} \right)\cdot t^n$.

Тогда $(*)=\int\limit_0^{0.5}\left(1+\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\prod\limits_{k=1}^n \dfrac{-\frac{1}{3}-k+1}{k} \right)\cdot t^{3n}\right)dt=(**)$

Меняем интегрирование и суммирование местами:

$(**)=0.5-0+\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\prod\limits_{k=1}^n \dfrac{-\frac{1}{3}-k+1}{k} \right)\int\limit_0^{0.5} t^{3n}dt=(***)$

$\int\limit_0^{0.5} t^{3n}dt=\left. \left(\dfrac{t^{3n+1}}{3n+1}\right)\right |\limits_0^{0.5}=\dfrac{1}{(3n+1)\cdot 2^{3n+1}}$

Значит,

$(***)=0.5+\sum\limits_{n=1}^\infty \underbrace{\left(\prod\limits_{k=1}^n \dfrac{-\frac{1}{3}-k+1}{k} \right)\dfrac{1}{(3n+1)\cdot 2^{3n+1}}}_{a_n}=(****)$

$a_1=\left(\dfrac{-\frac{1}{3}-1+1}{1} \right)\dfrac{1}{(3+1)\cdot 2^{3+1}}=-\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2^6}$

$a_2=\left(\dfrac{-\frac{1}{3}-1+1}{1} \right)\left(\dfrac{-\frac{1}{3}-2+1}{2} \right)\dfrac{1}{(6+1)\cdot 2^{6+1}}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{7\cdot 2^{6}}\Rightarrow \\ \Rightarrow |a_2|=\dfrac{1}{126\cdot 32}<\dfrac{1}{100\cdot 10}=0.001$

Значит, для указанной точности члены разложения с номерами $n\geq 2$ можно отбросить. Тогда, с указанной точностью,

$(****)\approx0.5-\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2^6}\approx 0.5-0.005=0.495$