Question

Найти предел не используя правило Лопиталя. Срочно

lim x->e lnlnx/2x-2e

Answer 1

$\lim\limits_{x\to e}\dfrac{\ln(\ln x)}{2(x-e)}=||x-e=t||=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\ln(\ln(t+e))}{2t}=\left[\dfrac{0}{0}\right]=$

$=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\ln(1+(\ln(t+e)-1))}{2t}=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\ln(t+e)-1}{2t}=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\ln(t+e)-\ln e}{2t}=$

$=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\ln\frac{t+e}{e}}{2t}=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\ln(1+\frac{t}{e})}{2t}=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{t/e}{2t}=\dfrac{1}{2e}$

Замечание. Мы дважды воспользовались эквивалентностью

                                         $\ln(1+\alpha)\sim \alpha$   при  $\alpha\to 0.$

Ответ:  $\dfrac{1}{2e}.$