Question

ПОЖАЛУЙСТА СРОЧНО ПОМОГИТЕ!!<3

Доведіть нерівність (25 + аб)(а + б) ≥ 20аб , якщо а ≥ 0, б ≥ 0. ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$(25+ab)(a+b)\geq 20ab$

Перенесем слагаемое  20ab

$(25+ab)(a+b)-20ab\geq 0$

Докажем это. Выполним преобразования левой части неравенства.

$(25+ab)(a+b)-20ab=25a+25b+a^{2}b+b^{2}a -20ab=\\\\=a^{2}b-10ab+25b+b^{2}a +25a-10ab=\\\\=b(a^{2}-10a+25)+a(b^{2} -10b+25)=b(a-5)^{2} +a(b-5)^{2}$

Поскольку

$b\geq 0\\(a-5)^{2}\geq 0 \\a\geq 0\\(b-5)^{2}\geq 0$

то

$b(a-5)^{2} \geq 0\\a(b-5)^{2}\geq 0$

и

$b(a-5)^{2} +a(b-5)^{2}\geq 0$

Что и нужно было доказать.