Question

решите уравнение
$(4x-x^2-3)log_2(cos^2{\pi x}+1)=1$

Answer 1

Ответ:

ответ: х=2

Объяснение:

Рассмотрим отдельно 2 функции:

1) у1 = 4х-х²-3

2) у2 = log2(cos²πx +1)

1) у1 = 4х-х²-3 — парабола, ветви которой направлены вниз (так как а =-1<0)

Найдем возможные значения функции у1:

х вершины = -b/2a = (-4)/(2*(-1)) = -4/-2 = 2

y вершины = 4*2 -2² -3 = 8-4-3=1

так как ветви параболы направлены вниз, то у вершины = у max

следовательно, возможные значения у1:

Е(у1)=(-∞;1]

2) у2 = log2(cos²πx +1)

-1 ≤ cos πx ≤ 1

0 ≤ cos²πx ≤ 1

1 ≤ cos²πx + 1 ≤ 2

log2(1) ≤ log2(cos²πx+1) ≤ log2(2) (так как основания логарифмов = 2>1)

0 ≤ log2(cos²πx+1) ≤ 1

следовательно, возможные значения у2:

Е(у2)= [0;1]

Рассмотрим результат произведения у1*у2, при условии, что:

у1 є (-∞;1], у2 є [0;1]

• если у2 = 0, то у1*у2 = у1*0 = 0 ≠ 1 → у2=0 — не подходит
• если 0 < у2 < 1, то рассмотрим, когда у1*у2=1:

у2 = 1 / у1

так как 0 < у2 < 1, то 0 < 1 / у1 < 1

1) 1/у1 > 0, если у1>0

2) 1/у1 < 1, если у1<0 или у1>1

→ 0 < 1 / у1 < 1 при у1 > 1, но у1 є (-∞;1] (то есть у1≤1),

получаем противоречие → 0 < у2 < 1 — не подходит

• если у2 = 1, то у1*у2 = 1, при у1=1 — подходит

Рассмотрим единственный подходящий случай:

у1=1 и у2=1

4х-х²-3=1 и log2(cos²πx+1)=1

1) 4х-х²-3=1

-x² +4x -4 = 0

x²-4x+4=0

D = (-4)²-4*1*4=16-16=0

x = -(-4)/(2*1)=4/2 = 2

2) log2(cos²πx+1)=1

cos²πx+1=2¹

cos²πx+1=2

cos²πx=1

cos(πx)=1 или cos(πx)=-1

πx = πk, kєZ

x = k, kє Z

Находя пересечения решений, полученных решая уравнение у1=1 (х=2) и уравнение у2=1 (x = k, kє Z), получаем ответ: х=2