Question

$5 log_{0.5}(x) \leqslant 6 + log {}^{2} _{0.5}(x)$
​

Answer 1

Ответ:

х€(0; 0,125]U[0,25; +oo)

Пошаговое объяснение:

$5log_{0.5} \leqslant 6 + log_{0.5}^{2} x \\ - log_{0.5}^{2} x + 5 log_{0.5}x - 6 \leqslant 0 \: | \div ( - 1)$

${( log_{0.5}x)}^{2} - 5 \times log_{0.5}x + 6 \geqslant 0$

квадратное логарифмическое неравенство, замена переменной:

$log_{0.5}x = t \\ {t}^{2} - 5t + 6 \geqslant 0$

$t_{1} = 2 \\ t_{2} = 3 \\ (t - 2) \times (t - 3) \geqslant 0$

метод интервалов:

++++++[2]--------[3]+++++++>t

$t \leqslant 2 \\ t \geqslant 3$

обратная замена:

1).

$t \leqslant 2 \\ log_{0.5}x \leqslant 2 \\ 2 = log_{0.5} {05}^{2} = log_{0.5}0.25 \\ log_{0.5}x \leqslant log_{0.5}0.25$

простейшее логарифмическое неравенство, основание логарифма а =0,5,

0<0,5<1, => знак неравенства меняем

$x \geqslant 0.25$

учитывая ОДЗ: х>0, получим

$x \geqslant 0.25$

2).

$t \geqslant 3 \\ log_{0.5}x \geqslant 3 \\ 3 = log_{0.5} {0.5}^{3} = log_{0.5}0.125 \\ log_{0.5}x \geqslant log_{0.5}0.125$

$x \leqslant 0.125 \\ odsx > 0 \\ = > \\ 0 < x \leqslant 0.125$