Question

при каких значениях параметра a уравнение
$(x-a)log_2(3x-7)=0$
имеет единственный корень???

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Графический метод:

Строим графики $a=x$ (прямая) и $x=\dfrac{8}{3}$ ($\log_2(3x-7)=0$) при $x>\dfrac{7}{3}$, откуда видим, что ответом будет $a\in\left(-\infty;\;\dfrac{7}{3}\right]\cup\left\{\dfrac{8}{3}\right\}$.

(см. прикрепленный файл)

Аналитический метод:

$(x-a)\log_2(3x-7)=0$, ОДЗ: $3x-7>0$.

Заметим, что при любом значении параметра исходное уравнение имеет корень $x=\dfrac{8}{3}$.

Тогда один корень у такого уравнения будет, если:

• Первый множитель тоже обращается в 0 при $x=\dfrac{8}{3}$.
• Он обращается в 0 при x, который не подойдет по ОДЗ.

В первом случае при подстановке в $x-a=0$ числа $\dfrac{8}{3}$ вместо x получаем, что $a=\dfrac{8}{3}$. Действительно, в этом случае корень единственный.

Во втором случае имеем, что $x=a$. ОДЗ нарушается, если $3x-7\le0$, то есть тогда $3a-7\le0,\;\Rightarrow\;a\le\dfrac{7}{3}$.

Итого при $a\in\left(-\infty;\;\dfrac{7}{3}\right]\cup\left\{\dfrac{8}{3}\right\}$ исходное уравнение имеет ровно один единственный корень.

Задание выполнено!