Question

Найти неопределённый интеграл:
$\int\limits {\frac{arctg^2x+x}{1+x^2} } \, dx$

Answer 1

Ответ:arctg³x /3 + ln(x²+1)/2 +C

Пошаговое объяснение:

I=∫(arctg²x+x)dx/ (1+x²)=∫arctg²x dx/(1+x²) + ∫xdx /(1+x²)

I₁=∫arctg²x dx/(1+x²) = пусть arctgx =U, ⇒ U'=dx/(1+x²)  ⇒ dx=(1+x²)dU

I₁=∫arctg²x dx/(1+x²) =∫U²dU=U³/3=arctg³x /3

I₂=∫xdx /(1+x²) = пусть x²+1=t, ⇒2x dx=dt  ⇒ dx=dt/2x ⇒

I₂=∫xdx /(1+x²) =(1/2) ·∫dt/t= (1/2) · ln U = ln(x²+1)/2

Тогда I = ∫(arctg²x+x)dx/ (1+x²)=arctg³x /3 + ln(x²+1)/2 +C