Ответы
Составить уравнение сторон треугольника АВС, если даны одна из его вершин А(1;3) и уравнение двух медиан у = х + 4 и х = -1.
Найдём точку пересечения медиан , приравняв функции у = х + 4 и х = -1.
Отсюда у = -1 + 4 = 3.
Эти графики пересекаются в точке О (-1; 3) .
Как известно все медианы пересекаются в одной точке. Поэтому мы можем провести медиану из вершины А.
Эта медиана параллельна оси Ох и соответственно перпендикулярна оси Оу так, как две её точки А и О имеют одинаковую ординату.
Также известно, что медианы пересекаясь, делятся в отношении 2:1 считая от вершины.
Расстояние от вершины до точки пересечения АО = 1 – (-1) = 2. Пусть точка А1 пересечения медианы с противоположной стороной ВС, тогда ОА1 = 2/2 = 1, тогда точка А1 имеет координаты А1(-2; 3). Известно, что вершины лежат соответственно на двух остальных медианах. Возьмем некоторые точки В и С на соответственно разных медианах. Мы знаем, что точка А1 делит ВС пополам, то есть ВА1 = СА1. Соединим вершины и обозначим точки пересечения сторон и медиан.
Точка В (как лежащая на прямой х = -1) имеет абсциссу -1. Поэтому можно записать формулу середины отрезка для точек В и С.
(Bx+Cx)/2=-2,Cx=2*(-2)-Bx=-4-(-1)=-3.
где Bx – абсцисса точки В = -1. Мы знаем, что точка С лежит на медиане заданной уравнением функции у = х + 4, подставим значение х = -3 в это уравнение и найдем ординату точки С. у = -3 + 4 = 1. Значит, С(-3; 1)
Для нахождения координат точки В запишем уравнение середины отрезка для точек В и С.
(By+Cy)/2=3,By=3*2-Cy=6-1=5.
Итак, точка В(-1; 5).
Все вершины треугольника определены: А1(1; 3), В(-1; 5) и С(-3; 1)
Составляем уравнения сторон.
Находим векторы.
АВ = (-1-1); 5-3) = (-2; 2),
ВС = (-3-(-1); 1-5) = (-2; -4),
АС = (-3-1); 1-3) = (-4; -2).
Уравнения:
AB: (x-1)/(-2)=(y-3)/2,
BC: (x+1)/(-2)=(y-5)/(-4)
AC: (x-1)/(-4)=(y-3)/(-2).
