Question

Используя метод математической индукции, докажите формулу

Answer 1

1) при n=1

1=(3¹-1)/2=1 верно

2) пусть при n=k

$1 + 3 + {3}^{2} + ... + {3}^{k - 1} = \frac{ {3}^{k} - 1}{2}$

3)докажем при n=k+1

$1 + 3 + {3}^{2} + ... + {3}^{k - 1} + {3}^{k} = \\ = \frac{ {3}^{k + 1} - 1}{2}$

действительно,

$(1 + 3 + {3}^{2} + ... + {3}^{k - 1} )+ {3}^{k} = \\ = (\frac{ {3}^{k} - 1 }{2} )+ {3}^{k } = \\ = \frac{ {3}^{k} - 1 + 2 \times {3}^{k} }{2} = \frac{ 3 \times {3}^{k} - 1 }{2} = \\ = \frac{ {3}^{k + 1} - 1}{2}$

что и требовалось доказать