Question

Докажи, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты A(14;3), B(26;7), C(22;19) и D(10;15), является квадратом; найди его площадь.

SABCD=
.

Answer 1

Дано:   A(14;3);  B(26;7);   C(22;19);   D(10;15).

Решение.

1)  Найдём стороны четырёхугольника ABCD.

$AB=\sqrt{(26-14)^2+(7-3)^2}=\sqrt{12^2+4^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$

$BC=\sqrt{(22-26)^2+(19-7)^2}=\sqrt{(-4)^2+12^2}=\sqrt{16+144}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$

$CD=\sqrt{(10-22)^2+(15-19)^2}=\sqrt{12^2+4^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$

$AD=\sqrt{(10-14)^2+(15-3)^2}=\sqrt{4^2+12^2}=\sqrt{16+144}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$

Стороны четырёхугольника ABCD равны между собой.

2) Найдём диагонали четырёхугольника ABCD.

$AC=\sqrt{(22-14)^2+(19-3)^2}=\sqrt{8^2+16^2}=\sqrt{64+256}=\sqrt{320}=8\sqrt{5}$

$BD=\sqrt{(10-26)^2+(15-7)^2}=\sqrt{(-16)^2+8^2}=\sqrt{256+64}=\sqrt{320}=8\sqrt{5}$

Диагонали четырёхугольника ABCD равны между собой.

3) Если стороны четырёхугольника ABCD равны между собой и его диагонали равны между собой, значит, четырёхугольник ABCD - квадрат.

Доказано.

4) Найдём $S_{ABCD}$  - площадь квадрата ABCD.

$S_{ABCD} =AB^2$

$S_{ABCD} =(4\sqrt{10} )^2=160$

$S_{ABCD} =160$

Ответ:  $S_{ABCD} =160$