Question

Для функции f (x) = 2/x^3 - 4x найдите первообразную, которая проходит через точку А (1;6)

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle y(x)=-2x^2-\frac{1}{x^2} +9$

Пошаговое объяснение:

определение:

• функция F(x) на заданном промежутке называется первообразной для функции f(x) , для всех x из этого промежутка, если F'(x)=f(x);
• операция нахождение первообразной для функции называется интегрированием.

Найдем всё семейство первообразных:

$\displaystyle F(x) = \int {\bigg(\frac{2}{x^3} -4x\bigg )} \, dx =2\int {\frac{1}{x^3} } \, dx -4\int{x} \, dx =2*\bigg (-\frac{1}{2x^2} \bigg)-4*\frac{x^2}{2} +C=\\\\\\=-\frac{1}{x^2} -2x^2+C$

Теперь нам надо найти одну из этого семейства, график которой проходит через точку А(1; 6).

Это значит, что нам нужно найти константу С.

Подставим координаты точки А в уравнение первообразной.

$\displaystyle 6=-2*1^2-\frac{1}{1^2} +C;\qquad 6=-2-1+C;\qquad \boldsymbol {C=9}$

Теперь мы можем записать конкретную первообразную, график которой проходит через точку А(1; 6).

$\displaystyle y(x)=-2x^2-\frac{1}{x^2} +9$