Question

Решите уравнение:

arcctgx=arcsinx​

Answer 1

$\mathrm{arcctg}\, x=\arcsin x$

Определим ОДЗ. Арккотангенс определен для любых чисел, а арксинус - только для чисел из отрезка $[-1;\ 1]$. Таким образом:

$x\in[-1;\ 1]$

Найдем синус левой и правой части:

$\sin(\mathrm{arcctg}\, x)=\sin(\arcsin x)$

$\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2} }=x$

Рассмотрим левую часть уравнения. В числителе записано положительное число, в знаменателе стоит квадратный корень, который может принимать только положительные значения. Таким образом, левая часть уравнения положительна, а значит и правая часть уравнения должна быть положительна:

$x>0$

Учитывая это, возводим в квадрат обе части уравнения:

$\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2} }\right)^2=x^2$

$\dfrac{1}{1+x^2 }=x^2$

$x^2(1+x^2)=1$

$x^4+x^2-1=0$

$D=1-4\cdot1\cdot(-1)=5$

$x^2=\dfrac{-1\pm\sqrt{5} }{2}$

Заметим, что одно из уравнений, а именно $x^2=\dfrac{-1-\sqrt{5} }{2}$, не имеет корней, так как квадрат числа не может принимать отрицательных значений.

Рассматриваем другое уравнение:

$x^2=\dfrac{\sqrt{5}-1 }{2}$

$x=\pm\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}-1 }{2}}$

Вновь заметим, что один из найденных корней не соответствует ранее записанному ограничению $x>0$.

Значит, единственный корень уравнения:

$x=\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}-1 }{2}}$

Убедится, что он отвечает требованиям ОДЗ, можно с помощью следующих рассуждений:

$1=\sqrt{1} <\sqrt{5} <\sqrt{9} =3$

$0 <\sqrt{5}-1 <2$

$0 <\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} <1$

$0 <\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}} <1$

Ответ: $\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}-1 }{2}}$