2. (4 балла) Решите задачу с помощью системы уравнений. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 15 см, а периметр этого треугольника равен 36 см.
Ответы
Ответ:
54 см² - площадь прямоугольного треугольника
Пошаговое объяснение:
Пусть х и у - катеты, z - гипотенуза = 15 см
Р = 36 см
1. По теореме Пифагора:
z² = x² + y²
225 = x² + y²
2. Р - периметр = x + y + z:
36 = x + y + 15
x + y = 36 - 15 = 21
Решим систему уравнений:
{225 = x² + y²
{21 = x + y → возведём уравнение в квадрат:
{x² + y² = 225
{ x²+2xy+y² = 441 → вычтем из 2-го уравнения 1-е:
x² - x² +2xy + y² - y² 441 - 225
2xy = 216
ху = 216/2
ху = 108
S = 1/2ху = 1/2 * 108 = 54 см² - площадь прямоугольного треугольника
Ответ:
S=54 см²
Пошаговое объяснение:
c=15см
Р=a+b+c=36 см
a+b+15=36 см
a+b=21 см
a²+b²=c² Квадрат гипотенузы прямоуг. треугольника = сумме квадратов катетов
a²+b²=15² см
a²+b²=225 см
{a+b=21 ⇒ a=21-b
{a²+b²=225 ⇒ (a+b)²-2ab=225
(21-b+b)²-2b(21-b)=225
441-42b+2b²=225
2b²-42b+216=0
b²-21b+108=0
D=(-21)²-4*1*108=441-332=9 √9=3
b₁=(21+3)|2=12
b₂=(21-3)/2=9
a₁=21-12=9
a₂=21-9=12
Проверка: какие значения a и b соответствуют условию?
a₁+b₁+c=
9+12+15=36
a₂+b₂+15=
12+9+15=36
a₁ и a₂, b₁ и b₂ - соответсвуют условию и являются корнями системы уравнений
Площадь прямоугольного треугольника:
S=ab/2 ед²
S=12*9/2 см²
S=6*9 см²
S=54 см²