Question

Найдите область значений функции y=2-3arccos(3x-1)​

Answer 1

Начнем с области значений функции арккосинуса:

$E(\arccos x)=[0;\ \pi]$

Пользуясь тем, что график функции $y=\arccos (3x-1)$ получается из графика функции $y=\arccos x$ только за счет его сжатия к оси ординат и переноса вдоль оси абсцисс, запишем:

$E\left(\arccos (3x-1)\right)=[0;\ \pi]$

Перепишем это в виде двойного неравенства:

$0\leqslant\arccos (3x-1)\leqslant\pi$

Проведем цепочку преобразований:

$3\cdot 0\leqslant3\cdot\arccos (3x-1)\leqslant3\cdot\pi$

$0\leqslant3\arccos (3x-1)\leqslant3\pi$

$-3\pi\leqslant-3\arccos (3x-1)\leqslant0$

$2-3\pi\leqslant2-3\arccos (3x-1)\leqslant2+0$

$2-3\pi\leqslant2-3\arccos (3x-1)\leqslant2$

Таким образом, мы оценили значение выражения $2-3\arccos (3x-1)$, то есть нашли требуемую область значений:

$E(y)=[2-3\pi ;\ 2]$