Question

Найти предел функции

Answer 1

Неопределенность $\{1^\infty\}$, следовательно, применим второй замечательный предел

$\displaystyle \lim_{x \to a}\left(\dfrac{\sin x}{\sin a}\right)^{\frac{1}{x-a}}=\lim_{x \to a}\left(1+\dfrac{\sin x-\sin a}{\sin a}\right)^{\frac{1}{x-a}\cdot \frac{\sin x-\sin a}{\sin a}\cdot \frac{\sin a}{\sin x-\sin a}}=$

$=e^{\lim_{x \to a}\frac{1}{x-a}\cdot\frac{\sin x-\sin a}{\sin a}}=e^{\lim_{x \to a}\frac{2\sin \frac{x-a}{2}\cos \frac{x+a}{2}}{\frac{x-a}{2}\cdot 2\sin a}}=e^{\lim_{x \to a}\frac{\cos\frac{x+a}{2}}{\sin a}}={\rm ctg}\, a$