Question

Доказать, что унитарные матрицы образуют группу.

Answer 1

1) Пусть $A,B$ - унитарные матрицы, $A^*,B^*$ - эрмитово сопряженные к ним. Тогда верны равенства $AA^*=A^*A=BB^*=B^*B=E$

Покажем, что $AB$ - унитарная матрица:

$AB(AB)^*=ABB^*A^*=AEA^*=AA^*=E$

Значит, произведение унитарных матриц - также унитарная матрица.

2) Ассоциативность умножения очевидна [оператор * для матриц ассоциативен, и при этом произведение элементов рассматриваемого мн-ва также принадлежит этому мн-ву]

3) $E^{-1}=E=E^*$, при этом $UE=EU=U$

Значит, $E$ - нейтральный элемент рассматриваемого мн-ва

4) Для любой унитарной матрицы обратной является эрмитово сопряженная, которая и сама (из определения унитарной матрицы) является унитарной.

Значит, для любой матрицы $U$ в мн-ве будет существовать обратная к ней $U^*$

Это и означает, что унитарные матрицы образуют группу относительно умножения

Ч.т.д.