Question

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.
Решить задачу Коши.

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle y'=\frac{y}{x}-\frac{x}{y}\ \ ,\ \ \ y(1)=2\\\\\\t=\frac{y}{x}\ \ ,\ \ y=tx\ \ ,\ \ y'=t'x+t\\\\\\t'x+t=t-\frac{1}{t}\ \ ,\ \ \ t'x=-\frac{1}{t}\ \ ,\ \ t'=-\frac{1}{tx}\ \ ,\ \ \int t\, dt=-\int \frac{dx}{x}\\\\\\\frac{t^2}{2}=-ln|x|+C\ \ ,\ \ \ \frac{y^2}{2x^2}=-ln|x|+C\ \ ,\\\\\\y^2=2x^2\, (C-ln|x|)\ -\ obshee\ reshenie\\\\\\y(1)=2:\ \ 4=2\, (C-ln1)\ \ ,\ \ 4=2C\ \ ,\ \ C=2\\\\\\\boxed{\ y^2=2x^2\, (2-ln|x|\, )\ }$