Question

Решить методом замены x+√((x+6)(x-2))=2+(√(x+6) )+ (√(x-2))​

Answer 1

Ответ:

x = 3

Объяснение:

$\displaystyle\\x+\sqrt{(x+6)(x-2)} =2+\sqrt{x+6} +\sqrt{x-2} \\\\\left \{ \Big{\big{(x+6)(x-2)\geq0 } \atop \big{x-6\geq0 }}\atop {x-2\geq0 }} \right. \Leftrightarrow \left \{ \Big{\big{x\in(-\infty;-6]\cup[2;+\infty) } \atop \big{x\geq6 }}\atop {x\geq 2 }} \right. \\\\x\in[2;+\infty)$

$\displaystyle\\x-2+\sqrt{(x+6)(x-2)} =\sqrt{x+6} +\sqrt{x-2}\\\displaystyle\\(\sqrt{x-2} )^2+\sqrt{(x+6)(x-2)} =\sqrt{x+6} +\sqrt{x-2}$

замена:

$a=\sqrt{x-6}\geq0 ; \ \ \ \ \ b=\sqrt{x-2}\geq 0$

тогда

$b^2+ab=a+b\\\\b^2+ab-a-b=0\\\\b(b-1)+a(b-1)=0\\\\(b-1)(a+b)=0$

$1)\ a=-b\\\\\sqrt{x+6} =-\sqrt{x-2}$

слева неотрицательное, справа неположительное

решений нет,

поскольку левая часть равна нулю при х= -6

а правая часть равна нулю при х=2

$2)\ b=1;\ \ \ \sqrt{x-2} =1;\ \ \ x-2=1;\ \ \ x=3$

О т в ет : $\boldsymbol{x=3}$