Question

Основание прямой призмы - ромб с высотой h и острым углом α‎. Меньшая диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объем призмы.

Answer 1

Ответ:

$V=\dfrac{h^3\cdot tg\beta\sqrt{2(1-\cos\alpha)}}{\sin^2\alpha}$

Объяснение:

Из прямоугольного треугольника АВН:

$a=\dfrac{h}{\sin\alpha}$

Из  треугольника ABD по теореме косинусов:

$BD^2=a^2+a^2-2\cdot a\cdot a\cdot \cos\alpha=2a^2-2a^2\cdot \cos\alpha=$

$=2a^2(1-\cos\alpha)=\dfrac{2h^2(1-\cos\alpha)}{\sin^2\alpha}$

$BD=\dfrac{h\sqrt{2(1-\cos\alpha)}}{\sin\alpha}$

Из прямоугольного треугольника ВВ₁D:

$BB_1=BD\cdot tg\beta=\dfrac{h\cdot tg\beta\sqrt{2(1-\cos\alpha)}}{\sin\alpha}$

Площадь основания:

$S=a^2\cdot \sin\alpha=\dfrac{h^2}{\sin^2\alpha}\cdot \sin\alpha=\dfrac{h^2}{\sin\alpha}$

Объем:

$V=S\cdot BB_1$

$V=\dfrac{h^2}{\sin\alpha}\cdot \dfrac{h\cdot tg\beta\sqrt{2(1-\cos\alpha)}}{\sin\alpha}$

$V=\dfrac{h^3\cdot tg\beta\sqrt{2(1-\cos\alpha)}}{\sin^2\alpha}$