Question

Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `(2a+5)x-x^2+a+1=0` имеет один корень больше `3`.

Answer 1

(2a+5)x - x^2 + a + 1 = 0

Перенесем всё направо, чтобы коэффициент при x^2 стал равен 1.

0 = x^2 - (2a+5)x - a - 1

Решаем квадратное уравнение, как обычно.

D = (-(2a+5))^2 - 4*1(-a-1) = 4a^2 + 20a + 25 + 4a + 4 = 4a^2 + 24a + 29

Найдем, при каких a будет D >= 0

4a^2 + 24a + 29 >= 0

D1 = 24^2 - 4*4*29 = 576 - 464 = 112 = (4√7)^2 ≈ 10,6^2

a1 = (-24 - 4√7)/8 = -3 - √7/2 ≈ -4,322

a2 = -3 + √7/2 ≈ -1,677

Область определения: a € (-oo; -3 - √7/2) U (-3 + √7/2; +oo)

Теперь находим x1, x2.

x^2 - (2a+5)x - (a+1) = 0

D = 4a^2 + 24a + 29

x1 = (2a+5 - √(4a^2 + 24a + 29))/2

x2 = (2a+5 + √(4a^2 + 24a + 29))/2

Ясно, что x1 < x2. По условию должен быть один корень больше 3:

x1 < 3, x2 > 3.

При этом a € (-oo; -3 - √7/2) U (-3 + √7/2; +oo)

И √(4a^2 + 24a + 29) >= 0, потому что корень арифметический.

Система неравенств:

{ (2a+5 - √(4a^2 + 24a + 29))/2 < 3

{ (2a+5 + √(4a^2 + 24a + 29))/2 > 3

Выделяем корень отдельно в обоих неравенствах:

{ 2a + 5 - 6 < √(4a^2 + 24a + 29)

{ √(4a^2 + 24a + 29) > 6 - 2a - 5

Упрощаем:

{ √(4a^2 + 24a + 29) > 2a - 1

{ √(4a^2 + 24a + 29) > -2a + 1

Если эти неравенства возвести в квадрат, получится одинаково:

4a^2 + 24a + 29 > (2a - 1)^2

Решим это неравенство:

4a^2 + 24a + 29 > 4a^2 - 4a + 1

24a + 4a > 1 - 29

28a > -28

a > -1

Так как -1 > -3 + √7/2, то:

Ответ: a € (-1; +oo)