Question

Ю.М.Колягин , Алгебра-10 , №830
Решите в целых числах уравнение
2)3х²-8ху-16у²=19.

Answer 1

Разложим левую часть уравнения на множители

3x² - 12xy + 4xy - 16y² = 19

3x · (x - 4y) + 4y · (x - 4y) = 19

(x - 4y) · (3x + 4y) = 19

Число 19 - простое и представимо в виде произведения чисел 1 и 19 или (-1) и (-19). В целых числах имеет решение только в четырёх случаях:

1) $\displaystyle \left \{ {{x-4y=1} \atop {3x+4y=19}} \right.~~\Rightarrow~~4x=20~~\Rightarrow~~ x=5~~ {\rm and}~~ y=\dfrac{x-1}{4}=1$

2)$\displaystyle \left \{ {{x-4y=19} \atop {3x+4y=1}} \right.~~\Rightarrow~~4x=20~~\Rightarrow~~ x=5~~ {\rm and}~~ y=\dfrac{x-19}{4}=-\dfrac{7}{2}\notin \mathbb{Z}$

3) $\displaystyle \left \{ {{x-4y=-1} \atop {3x+4y=-19}} \right.~~\Rightarrow~~4x=-20~~\Rightarrow~~ x=-5~~ {\rm and}~~ y=\dfrac{x+1}{4}=-1$

4) $\displaystyle \left \{ {{x-4y=-19} \atop {3x+4y=-1}} \right.~~\Rightarrow~~4x=-20~~\Rightarrow~~ x=-5~~ {\rm and}~~ y=\dfrac{x+19}{4}=\dfrac{7}{2}\notin \mathbb{Z}$

Ответ: (5;1), (-5;-1).