Question

Решите совокупность неравенств


В ответе укажите наибольшее целое решение. Если совокупность не имеет решений или наибольшего значения не существует, укажите в ответе.

Answer 1

    $\left[ \begin{gathered} \frac{x}{2}+\frac{x}{3} \le 6\\ \frac{2x-1}{x^{2} -9} \le 0 \\ \end{gathered} \right.$

    1) Решим первое неравенство:

$\frac{x}{2}+\frac{x}{3} \le 6$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим всё неравенство на общий знаменатель 6:

$\frac{x}{2}+\frac{x}{3} \le 6 \ \ \ |\cdot 6$

$3x+2x\le36\\5x\le36\\x\le\frac{36}{5}\\x\le7,2$  

Отметим закрашенную (потому что неравенство нестрогое) точку на числовой прямой и сделаем штриховку решения (см. рис. 1).

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty ; \ 7,2]$.  

    2) Решим второе неравенство методом интервалов.

$\frac{2x-1}{x^{2} -9} \le 0$

Найдем нули числителя и знаменателя:

$2x - 1 = 0$ → $x_1 = 0,5$

$x^2 - 9 = 0$ → $x_2 = 3,\ \ \ x_3 = -3$

Отметим найденные нули на числовой прямой (см. рис. 2).

Точка 0,5 будет закрашенная, так как неравенство нестрогое, а дробь равна нулю, когда числитель равен нулю.

Точки 3 и -3 будут выколотые, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Определим знак дроби на каждом промежутке и включим в ответ те промежутки, на которых она отрицательна.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty ; \ -3)[0,5;\ 3)$

   3) Решением совокупности будет объединение решений неравенств, входящих в нее (см. рис. 3). То есть нам нужны те участки, на которых есть по меньшей мере одна штриховка.  

Значит, $x \in (-\infty ; \ 7,2]$

Наибольшее целое решение: 7.  

Ответ: 7.