Question

Через точку O перетину діагоналей квадрата ABCD до площини квадрата проведено перпендикуляр SO завдовжки 5√2 см. Знайдіть кут між прямою AS і площиною квадрата, якщо AB = 10 см.

Answer 1

Ответ:

$\boxed{\angle (SA,ABC) = 45^{\circ}}$

Объяснение:

Дано: ABCD - квадрат, AC ∩ BD = O, SO ⊥ ABC, SO = $5\sqrt{2}$ см, AB = 10 см

Знайти: ∠(SA,ABC) - ?

Розв'язання: Так як за умовою ABCD - квадрат, то за означенням квадрата усі сторони квадрата рівні, тоді AB = BC = CD = DA = 10 см.

За означенням квадрата усі його кути дорівнють 90°, тоді ∠ABC = 90°. Розглянемо прямокутний (∠ABC = 90°) трикутник ΔABC. За теоремою Піфагора: $AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{10^{2} + 10^{2}} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ см. За властивістю квадрата його діагоналі точкою перетину діляться навпіл, тоді $AO = OC= \dfrac{AC}{2} = \dfrac{10\sqrt{2} }{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Так як за умовою SO ⊥ ABC, то SO ⊥ AO, так як AO ⊂ ABC. Так як

SO ⊥ AO, то відрізок AO - проекція відрізка AS у площину ABC, отже ∠(SA,ABC) = ∠SAO за означенням кута між прямою і площиною. Трикутник ΔSAO - прямокутний, так як SO ⊥ AO. Розглянемо трикутник ΔSAO. $tg\angle SAO = \dfrac{SO}{AO} = \dfrac{5\sqrt{2} }{5\sqrt{2} } = 1$.

$\angle SAO = arctg(tg \angle SAO ) = arctg(1) = 45^{\circ}$.