Question

Решите 6.62 под буквой В,т.к я не могу найти правильный ответ на это задание.У меня получился ответ от 1;+бесконечности.

На известном сайте один ответ,Photomath выдаёт другой.

Answer 1

Ответ:

$x \in (- \infty; \: 1]$

Объяснение:

$15 \cdot {9}^{x} + 16\cdot {15}^{x} - 15\cdot {25}^{x} \geqslant 0 \\ 15 {\cdot} {(3 {\cdot}3)}^{x} + 16{\cdot} {(3 {\cdot}5)}^{x} - 15{\cdot }{(5 {\cdot}5)}^{x} \geqslant 0$

Т.к. $\forall{x} \in \R, a>0$

справедливо, что $a^x>0$,

можем разделить обе части на $(5{\cdot}5)^x$

$\small 15 {\cdot} {(3 {\cdot}3)}^{x} {+} 16{\cdot} {(3 {\cdot}5)}^{x} {-} 15{\cdot }{(5 {\cdot}5)}^{x} \geqslant 0 \: \bigg| :(5 {\cdot}5)^{x} \\ \small \frac{15 {\cdot} {(3 {\cdot}3)}^{x}}{{(5 {\cdot}5)}^{x}} {+} \frac{16{\cdot} {(3 {\cdot}5)}^{x}}{{(5 {\cdot}5)}^{x}} {-} \frac{15{\cdot }{(5 {\cdot}5)}^{x}}{{(5 {\cdot}5)}^{x}} \geqslant 0 \: \\ \small 15 {\cdot} \frac{{(3 {\cdot}3)}^{x}}{{(5 {\cdot}5)}^{x}} {+} 16 {\cdot} \frac{{(3 {\cdot}5)}^{x}}{{(5 {\cdot}5)}^{x}} {-} 15 {\cdot} \frac{{(5 {\cdot}5)}^{x}}{{(5 {\cdot}5)}^{x}} \geqslant 0 \: \\ \small 15 {\cdot} \bigg(\frac{{3^{2}}}{{5^{2} }} \bigg)^{x} {+} 16 {\cdot} \bigg(\frac{3 {\cdot} \cancel{ 5 }}{\cancel{5} {\cdot}5} \bigg)^{x} {-} 15 {\cdot} \bigg(\frac{ \cancel{5 {\cdot}5}}{\cancel{5 {\cdot}5}} \bigg)^{x} \geqslant 0 \: \\ \small 15 {\cdot} \bigg(\frac{{3}}{{5}} \bigg)^{2x} {+} 16 {\cdot} \bigg(\frac{3}{5} \bigg)^{x} {-} 15 {\cdot} \big(1\big)^{x} \geqslant 0 \:$

Замена переменной:

$\Big( \frac{3}{5} \Big)^{x} =t, \: t>0 \: \: = > \: \Big( \frac{3}{5} \Big)^{2x} = {t}^{2}$

Получаем неравенство:

$15 {t}^{2} + 16t - 15 \geqslant 0$

Найдем корни уравнения

$15 {t}^{2} + 16t - 15 = 0 \\ D = 16^2-4{\cdot}15{\cdot}({-15})= 1156>0 \\ t = \frac{ - 16 \pm{ \sqrt{1156} }}{2{\cdot}15} \\t_{1} = \frac{ - 16 - 34}{30} = - \frac{50}{30} = - \frac{5}{3} \\ t_{2} = \frac{ - 16 + 34}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$

Нас интересует интервал, где значение выражения неотрицательное:

Т.к. график функции от t - парабола, ветви вверх =>

$15 {t}^{2} + 16t - 15 \geqslant 0 \\ (t + \tfrac{5}{3} )(t - \tfrac{3}{5}) \geqslant 0 \\ \bigg[ \: \large{ ^{t \: \leqslant - \frac{5}{3} } _{t \: \geqslant \: \frac{3}{5} }}$

Отсюда: обратная замена:

Первый вариант: нет решений, т.к. степенная функция всегда положительная:

$\Big( \frac{3}{5} \Big)^{x} { {\leqslant } - } \frac{5}{3} \: = > x \in \cancel{o}$

Рассмотрим второй случай

$\: \Big( \frac{3}{5} \Big)^{x} \geqslant \frac{3}{5} < = > \Big( \frac{3}{5} \Big)^{x} \geqslant \Big( \frac{3}{5} \Big)^{1}$

Т.к. функция у = (3/5)^х - монотонно убывающая, то для нее справедливо:

$\Big( \frac{3}{5} \Big)^{x} \geqslant \Big( \frac{3}{5} \Big)^{1} \: \: = > \: \: x \leqslant 1$

Так как в нашем случае выражение определено для всех действительных значений х, то получаем ответ:

$x \leqslant 1 \: \: < = > \: \: x \in (- \infty; \: 1]{?}$