Question

решите систему уравнений
$\displaystyle\\\left \{ {{x+\sqrt{\dfrac{x}{x+y} }=\dfrac{42}{x+y} } \atop {xy-x=16}} \right.$

Answer 1

ОДЗ: $\dfrac{x}{x+y}\ge 0.$

1-й случай: $x\ge 0;\. x+y>0.$  Обозначим $\sqrt{x}=p\ge 0;\ \dfrac{1}{\sqrt{x+y}}=q>0;$

первое уравнение превращается в  $p^2+pq-42q^2=0;\ (p+7q)(p-6q)=0;$

первая скобка в ноль не обращается, поэтому p=6q;  $x=\dfrac{36}{x+y};\ x^2+xy=36;\ xy=36-x^2;$

второе уравнение превращается в $x^2+x-20=0; (x+5)(x-4)=0; x=4; y=5.$

2-й случай: $x\le0;\ x+y<0.$ Обозначим $\sqrt{-x}=p\ge 0;\ \dfrac{1}{\sqrt{-x-y}}=q>0;$

первое уравнение превращается в $-p^2+pq+42q^2=0;\ (p-7q)(p+6q)=0;$

вторая скобка в ноль не обращается, поэтому p=7q;

$-x=\dfrac{49}{-x-y};\ x^2+xy=49; xy=49-x^2;$

второе уравнение превращается в

$x^2+x-33=0; x=\dfrac{-1-\sqrt{133}}{2};$   $y=\dfrac{41-8\sqrt{133} }{33}.$

Ответ: