Ответы
1) В уравнении прямой приравняем равные дроби параметру t.
Через этот параметр выразим переменные.
x = 7t + 1,
y = 1t + 2,
z = -1t + 6.
Подставим их в уравнение плоскости.
4(7t + 1) + 1t + 2 + -5(-1t + 6) = 0.
28t + 4 - 1t + 2 + 5t - 30 = 0.
32t - 24 = 0.
Отсюда t = 24/32 = 3/4.
Подставляем значение t в координаты точки, которая принадлежит и прямой и плоскости, то есть это точка пересечения.
x = 7(3/4) + 1 = (21/4) + 1 = 25/4,
y = 1(3/4)+ 2 = (3/4) + 2 = 11/4,
z = -1(3/4) + 6 = (-3/4) + 6 = 21/4.
2) Направляющий вектор прямой имеет вид: s = (7; 1; -1).
Вектор нормали плоскости имеет вид: q = (4; 1; -6).
Вычислив угол между векторами, найдем угол между прямой и плоскостью:
sin φ = |cos ψ| = | s · q |
| s |·| q | =
= | sx · qx + sy · qy + sz · qz |
√(sx² + sy² + sz²) · √(qx² + qy² + qz²) =
= | 4 · 7 + 1 · 1 + (-6) · (-1) |
√(4² + 1²+ (-6)²) · √(7² + 1² + (-1)²) =
= | 28 + 1 + 6 |
√(16 + 1 + 36) · √(49 + 1 + 1) =
= 35
√53 · √51 =
= 35
√2703 =
= 35√2703
2703 =
≈ 0.673201.
φ = 42.314635°