Question

решите неравенство
$\sqrt{(x+3)(x-8)} \geq x+2$

Answer 1

Сначала рассмотрим ОДЗ для нашего начального выражения.

$\sqrt{(x+3)(x-8)}\geq x+2$

Нас интересует левая часть неравенства. Если справа - рациональное выражение, не имеющее ни корней, ни дробей, то слева видим квадратный корень. Для него ОДЗ служат все значения переменных, при которых подкоренное выражение больше или равно нуля. То есть:

$(x+3)(x-8)\geq 0$

Решим это неравенство методом интервалов. -3 и 8 - абсциссы координат точек пересечения параболы с осью Ох. Расставим точки на числовой прямой и отметим интервалы, чередуя знаки от плюса к минусу. Приведу чертёж ниже. Таким образом, нас интересуют промежутки: (-∞;-3]∪[8;+∞). Это ОДЗ.

Теперь переходим к решению неравенства и, наконец, возводим обе части в квадрат.

$(x+3)(x-8)\geq (x+2)^{2}\\(x+3)(x-8)\geq x^{2} +4x+4\\x^{2} -8x+3x-24\geq x^{2} +4x+4$

Всё раскрыли, теперь приводим подобные.

$x^{2} -8x+3x-24\geq x^{2} +4x+4\\-9x-28\geq 0\\9x+28\leq 0\\x\leq -3\frac{1}{9}$

Теперь сверим данное множество решений с нашей ОДЗ (второй рисунок). Оранжевые полоски - это наша ОДЗ. Зелёная - ответ к неравенству. Можем увидеть, что полоски пересекаются на промежутке: (-∞;-3 1/9]. Это и есть ответ.