Плоскости трапеций ABCD и AEFD с общим основанием AD перпендикулярны, угол BAD=EAD=90°, угол ADC=ADF=60°, CD=4 см, DF=8 см. Найдите расстояние: 1) между прямыми BC и EF; 2) между точками C и F.
Если возможно, напишите, пожалуйста, решение более подробно, так как мне довольно трудно понять данную задачу.
Ответы
Ответ: 2√15 см; 8 см
Объяснение - очень подробно.
Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°.
Для плоскостей данных трапеций угол ЕАВ=90°.
Сделаем рисунок. BC║AD║EF.
В трапеции АВСD проведем высоту СН. ∠CDH= 60°.
CH=CD•sin60°=4•√3/2=2√3
В трапеции АЕFD из точки Н перпендикулярно AD возведем прямую до пересечения со стороной FD в точке М.
По второму признаку равенства прямоугольных треугольников ∆ HMD=∆ HCD по общему катету HD и равным прилежащим углам 60°( дано). ⇒
MD=CD=4 см, ∠ НСD=∠HMD=30°. ⇒ HD =CD:2=2 см
FM=DF-MD=8-4=4 ⇒ точка М - середина FD.
В трапеции AEFD из вершины F проведем высоту FK, а из М – прямую, параллельную АD до пересечения с FK в точке N. ∠FMN=∠MDH (соответственные).⇒ ∆ FNM=∆ MHD по третьему признаку равенства прямоугольных треугольников (равным гипотенузе и острому углу).
NM=НD=2 см. Четырехугольник KNMH- прямоугольник, КH=NM=HD=2 см.
Соединим точки С и К. В ∆ СKD отрезки KН=HD, следовательно, СН – высота и медиана.⇒ ∆ CKD – равнобедренный, т.к. ∆ СКН=∆ СDH (по первому признаку равенства прямоугольных треугольников) и СК=СD=KD=4 см.
В ∆ FKD катет FK=FD•sin60°=8•√3/2=4√3 см.
В трапеции АEFD высота FK ⊥ AD, сторона ЕA ⊥ AD, расстояния между параллельными прямыми равны в любой точке ⇒ EA=FK=4√3.
а)
Расстоянием между параллельными прямыми является длина перпендикулярного им отрезка.
В данных трапециях ∠BAD=∠EAD=90°, ⇒ трапеции прямоугольные, ⇒
ВЕ перпендикулярно ВС и ЕF ( по т. о 3-х перпендикулярах).
Из ∆ АВЕ по т.Пифагора искомое расстояние ВЕ=√(АВ²+АЕ²)=√(48+12)=2√15 см.
б)
Расстоянием между двумя точками является длина соединяющего их отрезка.
Если в одной из перпендикулярных плоскостей проведена прямая перпендикулярно к их линии пересечения, то эта прямая перпендикулярна и к другой плоскости.
FK⊥ AD, следовательно, перпендикулярна плоскости АВСD и перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости (свойство).
FK⊥CK ⇒ ∆ FKC- прямоугольный. ∆ СКF=∆ CKD по равенству катетов. Поэтому СF=FD=8 см
или по т. Пифагора СF=√(FK²+CK²)=√(48+16)=8 см.
